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Esta mañana he resuelto el problema de apilar libros (o bloques). Se trata de estudiar bajo qué condiciones puedo apilar bloques (de longitud L) de manera que los vaya desplazando un respecto al anterior, de manera que no caigan. Cuál es la condición límite para que no caigan? Con bloques de longitud L puedo conseguir un desplazamiento de longitud L?

Este problema recuerdo haberme peleado con él (y creo que en su día no lo llegué a solucionar) el verano de 1989 en Bagà, pues el problema estaba enunciado en el Schaum de Mecánica Teórica (Murray R, Spiegel). He buscado el libro (lo he encontrado en pdf en la red, seguro que lo tengo en una estantería), y en la foto se ve el enunciado del libro en la pág 249. NOTA: La figura que enseña el libro está mal y genera confusión: es al revés, el bloque de arriba es el que sobresale la mitad, y los bloques de abajo son los que están más juntos (la figura del llibre tiene un apilamiento claramente inestable, los bloques segur que caen porque el centro de gravedad está fuera del bloque de más abajo).

En aquella época no existía Internet, o sea que uno se peleaba con el problema solo, sin poder pedir ayuda. Ahora lo he resuelto (solito, hay que decirlo, ver el pdf en los enlaces de abajo), y después de resolverlo he buscado información complementaria que he encontrado de lo más interesante (videos de Youtube incluidos), ver los enlaces.

La solución. Todo el sistema de los blocs 1…N-1 que están sobre el bloque N no caen si su centro de masas cae justo en el extremo del bloque N. Se puede resolver de forma iterativa: el bloque 1 se aguanta sobre el bloque 2 si lo ponemos en la mitad, L/2. El sistema bloques 1+2 se aguanta sobre el bloque 3 si el centro de masas de los bloques 1+2 está justo en el extremo del bloque 3. Vamos poniendo bloques, y vamos calculando los centros de masas, y vamos viendo cuál es la condición de equilibrio. Y al final (ver la solución) se encuentra que el centro de masas es una serie armónica:

Xi+1cm = L/2 * (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/i)

Y ahora un poco de matemáticas: la serie armónica es divergente (aunque diverge muy lentamente). Lo que significa que se puede conseguir un desplazamiento teórico tan grande como se quiera (vere el video del enlace, donde se consigue un desplazamiento bastante grande).

Ahora sólo me falta hacer la experiencia con Maria y Pere, a ver si lo podemos hacer este mes. Si lo conseguimos, colgaremos también el video.

Enlaces:

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