{"id":799,"date":"2020-01-21T00:08:12","date_gmt":"2020-01-20T22:08:12","guid":{"rendered":"http:\/\/www.joanillo.org\/?p=799"},"modified":"2020-10-06T00:09:27","modified_gmt":"2020-10-05T22:09:27","slug":"block-or-book-stacking-problem","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.joanillo.org\/?p=799","title":{"rendered":"Block (or book) stacking problem"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/a>\"\"<\/a>Aquest mat\u00ed he fet el problema d’apilar llibres<\/a> (o blocs). Es tracta d’estudiar sota quines condicions puc apilar blocs (de longitud L) de manera que els vagi despla\u00e7ant un respecte l’anterior, de manera que no caiguin. Quina \u00e9s la condici\u00f3 l\u00edmit per tal de qu\u00e8 no caiguin? Amb blocs de longitud L puc aconseguir un despla\u00e7ament de longitud L?<\/p>\n

Aquest problema recordo haver-m’hi barallat (i crec que en el seu dia no el vaig solucionar) l’estiu de 1989 a Bag\u00e0, doncs el problema estava enunciat en el Schaum de Mec\u00e0nica Te\u00f2rica<\/strong> (Murray R, Spiegel). He cercat el llibre (l’he trobat en pdf a la xarxa, segur que el tinc en una estanteria), i a la foto es veu l’enunciat del llibre en la p\u00e0g 249. NOTA<\/strong>: Val a dir que la figura que ensenya el llibre est\u00e0 malament i que genera confusi\u00f3: \u00e9s al rev\u00e9s, el bloc de dalt \u00e9s el que sobresurt la meitat, i els blocs de baix s\u00f3n els que estan m\u00e9s junts (la figura del llibre t\u00e9 un apilament clarament inestable, els blocs segur que cauen perqu\u00e8 el centre de gravetat est\u00e0 fora del bloc de m\u00e9s a sota).<\/p>\n

En aquella \u00e8poca no existia Internet, o sigui que m’hi vaig barallar sense poder demanar ajuda. Ara l’he resolt (tot sol, va a dir, veure el pdf en els enlla\u00e7os de sota), i despr\u00e9s de resoldre’l he cercat informaci\u00f3 complement\u00e0ria que he trobat d’all\u00f2 m\u00e9s interessant (videos de Youtube inclosos), veure els enlla\u00e7os.<\/p>\n

La soluci\u00f3<\/a><\/strong>. Tot el sistema dels blocs 1…N-1 que estan sobre el bloc N no cauen si el seu centre de masses cau just en l’extrem del bloc N. Es pot resoldre de forma iterativa: el bloc 1 s’aguanta sobre el bloc 2 si el posem a la meitat, L\/2. El sistema blocs 1+2 s’aguanta sobre el bloc 3 si el centre de masses dels blocs 1+2 est\u00e0 just en l’extrem del bloc 3. Anem posant blocs, i anem calculant els centres de masses, i anem veient quina \u00e9s la condici\u00f3 d’equilibri. I al final (veure la soluci\u00f3<\/a>) es troba que el centre de masses \u00e9s una s\u00e8rie harm\u00f2nica:<\/p>\n

Xi+1cm = L\/2 * (1 + 1\/2 + 1\/3 + … + 1\/i)<\/p>\n

I ara una mica de matem\u00e0tiques: la s\u00e8rie harm\u00f2nica \u00e9s divergent (encara que divergeix molt lentament). La qual cosa significa que es pot aconseguir un despla\u00e7ament te\u00f2ric tan gran com es vulgui (veure el video de l’enlla\u00e7, on s’aconsegueix un despla\u00e7ament bastant gran).<\/p>\n

Ara nom\u00e9s em falta fer l’experi\u00e8ncia amb la Maria i el Pere, a veure si ho podem fer aquest mes. Si ho aconseguim, penjarem tamb\u00e9 el video.<\/p>\n

Enlla\u00e7os:<\/p>\n